國中數學重要關鍵字 

































































































































































負數



意義相反或性質相反的量,可以用正(+)與負(-)來區分。


 賺賠問題:售價-成本=賺(+)或賠(-)  



整數 



包含 正整數、負整數、0  



數線 



給定一個數,在數線上都可以找到一個點來表示這個數;而數線上的每一個點也都可以用一個數來表示,這種線我們稱之為數線


數線上應指明: 原點、正向、單位長  


設數線上有A(a)、B(b)兩點,則 (1)   (2)   


Ex:若一隻甲蟲在數線上由原點 O 向右行 4 公分,我們將它的位置記為+2,則由原點 O 向左行 6 公分,我們應將甲蟲的位置記為多少?【94.題本】
(A)-6 (B)-4 (C)-3 (D)+3                  C
 



相反數 



在數線,除了原點以外(也就是除了數字0 以外),與原點距離相等但方向相反的兩個點所代表的數,稱為相反數


性質: 兩個互為相反數的和=0。 



大於、小於 



甲大於4,可以記為 甲>4,或4<甲,前者唸為 甲大於4,後者唸為 4小於甲。



大於等於、小於等於 



甲大於4或等於4,可記為 4,和甲不小於4同義。也可記為4甲,即為4小於或等於甲。


「以上」表示大於等於,「未滿」表示小於,「超過」表示大於。 



三一律 


遞移律



三一律:在比較甲、乙兩數的大小時,右列三種關係只有一種成立,甲>乙 、甲=乙、 甲<乙


遞移律:如果甲>乙,而且乙>丙,那麼甲>丙。


如果甲=乙,而且乙=丙,那麼甲=丙。


如果甲<乙,而且乙<丙,那麼甲<丙。



比較大小



(1)     負數<0<正數


(2)     數線上右邊的數>左邊的數


(3)     分數比較大小時,可分母(分子)通分比較分子(分母)



絕對值



在數線上這個數所表示的點與原點的距離,叫做這數的絕對值。


性質:  (1) 1a,當a≧0;2a,當a<0     (2)  



因數、倍數



一不為零的整數b若能整除另一整數ab稱為a的因數,a稱為b的倍數。


又∵除法關係式:被除數=除數×商數+餘數,當餘數為0時,稱為整除


∴當a=b×c時bc稱為a的因數,a稱為bc的倍數。


 A=b×c的分解過程稱為「因數分解」。


如:12=1×12


      =2×6


      =3×4  則1,2,3,4,6,12是12的所有正因數。


 因數檢驗法:長除法 ,因數分解法, 235911因數判別法



235911的倍數判別法



2的倍數:個位數字是偶數


3(9)的倍數:數字和是3(9)的倍數


5的倍數:個位數字是05


11的倍數:奇數位數字和和偶數位數字和的差是11的倍數(含0



質數



一大於1的正整數只有1及本身兩個正因數時,稱為質數。


Ex:欲將n個邊長為1的小正方形,拼成一個長、寬皆大於1的矩形,且不會剩下任何小正方形,則n不可能為下列哪一個數?【90.一】


(A)81    (B)85    (C)87    (D)89                     D



合數



又稱合成數,大於1的正整數中不是質數者稱之。



質因數



如果一個整數的因數是質數,稱這個因數是這個整數的質因數,


如:12=2×2×3,則2312的質因數。



短除法



判別一數或一數以上的因數時只寫出除數和商,並不詳細運算除法過程,稱其計算型態為短除法。若除數皆為質數,其過程即稱為「質因數分解」。


Ex:某生將一正整數a分解成質因數相乘,計算過程如圖。則下列哪一個選項是正確的?【90.二】


 


(A)b22×32×52×7    (B)c32×52×7    (C)e32×52×7    (D)f5×7                A


 



標準分解式



一正整數作質因數分解時將質因數由小至大以連乘式表之,質因數相同者用次方形式簡記,這種式子稱為這個正整數的標準分解式,如:12=2×2×3=22×3(或223)。


Ex:傳說某古堡有億萬寶藏,必須輸入門密碼才能進入寶庫取寶;已知入門密碼有四碼abcd,分別隱藏在28982a×b 2×c 1×23 d的質因數分解式中,請問此入門密碼為何? 94.示例】


(A) 2371 (B)1371 (C)1351 (D)2351                    B



公因數、最大公因數



一整數a為兩個以上整數的因數時,a稱為這些數的公因數。公因數中最大者稱為最大公因數。


 計算方法:短除法、標準分解式法


Ex:若整數 a 的所有正因數 124132652,整數 b 的所有正因數為 123613263978,則下列哪一個數是 a b 的最大公因數?【94.題本】
(A) 1 (B) 26 (C) 52 (D) 78                            B



公倍數、最小公倍數



一整數a為兩個以上的整數的倍數時,a稱為這些數的公倍數。正公倍數中最小者稱為最小公倍數。


計算方法:短除法、標準分解式法



互質



兩正整數的最大公因數是1,稱為兩數互質。



等值分數



一分數的分子、分母「同乘一不是0的整數」,所得的分數稱為原分數的「擴分」;一分數的分子、分母「同除一公因數」,所得的分數稱為原分數之「約分」;一分數擴分或約分後所得的分數,其值和原分數相同,稱為等值分數。


如:



最簡分數



一分數經化簡後(合併符號、約分),若分子與分母的絕對值「互質」,此分數稱為最簡分數。



倒數



將一個不為0 的真分數或假分數的分子與分母對調,所得新的分數稱為原來分數的倒數,也稱這兩個分數互為倒數。


性質:兩個互為倒數的乘積=1



乘法分配律



 甲×(乙±丙)=甲×乙±甲×丙


Ex: 536×0.52364×0.48364×0.52536×0.48 之值為何?【93.一】
(A)0(B)20(C)36(D)40                    C



次方



a自乘n次,稱為an次方,記為an。如5×5=53稱為5的三次方。


如(-5) 3=(-5) ×(-5) ×(-5),-5 3=-5 ×5 ×5



平方根



定義:(1)a2=b,則ab的平方根,如:22=4,(-22=4 2、-2皆為4的平方根。


(2)對於正數a 表示a的正平方根,- 表示a的負平方根。


例:下列關於「平方根」的敘述,哪一項是正確的?【94.題本】
(A)
已知 a192,則 a 19 的平方根
(B)
因為-9=-32,所以-3 是-9 的平方根
(C)
已知 a 36 的平方根,則-a 也是 36 的平方根
(D)
因為任一整數的平方不等於 20,所以 20 沒有平方根                         C



四則運算



依據的規則:1次方乘開2負負得正3除法算則(除以一個不為0的數,就等於乘以此數的倒數)


4約分擴分通分5分數、小數互換7去絕對值6先乘除後加減8去括號規則


Ex:53×( )經計算之後,可得下列哪一個結果?【94.題本】
(A)  (B)  (C)  (D) 4                                        B



科學記號



將一個數寫成科學記號的形式是a×10n,其中1≦ <10,n是整數。



四捨五入法



近似值的取法之一。取概數時,指定單位的下一位若大於等於指定單位的一半,則進一指定單位;測量時,指標若在最小刻度單位的一半以上,則進取至下一個最小刻度單位,例如:325587在千位四捨五入得3260003.1416在百分位四捨五入得3.14



實際值範圍



用四捨五入法取實際值x 的近似值為a 時,則實際值x 的範圍為:


   


Ex:量身高的最小刻度單位為公分。威威的身高在四捨五入後所得的近似值是 164 公分,則它的實際身高不可能為下列哪一個?【94.題本】
(A) 163.5 公分 (B) 163.8 公分 (C) 164.0 公分 (D) 164.5 公分                   D



誤差



 誤差=  





兩數量以「:」區隔並據以呈現兩量之關係稱為比,如:兩人體重比為5643,披薩個數與價錢之比為2600


性質:一個比的前項與後項同乘以或同除以一個不為0 的數,所得的比與原來的比相等



比值



由比的相等關係,導出比之「前項除以後項,其值不變」,稱為比值,如34的比值為3/40.75


Ex:小格想要煮一鍋 30 人份的玉米湯,他依據圖的食譜內容到市場選購材料。請問下列哪一種材料的數量買得太少?【94.題本】
 
(A)
玉米醬 (100 g/罐)11 (B)雞蛋 8 (C)絞肉 45 (D)奶油 75                A



連比



x y z 是不為零的三個數量,則三個量的比可寫成xyz ,稱為x y z 的連比。


兩個比結合成連比的算法:若xy=a:b yz=cd ,則 xyzac bc bd


x  y  z


a:  b


     c  d


ac bc bd


Ex:古代常使用「以物易物」方式交易。例如:3 隻牛可以換8 隻羊,6 隻羊可以換13 隻雞,依此方式,請問27 隻牛可以換幾隻雞?【94.示例】


(A)54 (B)81 (C)117 (D)156                                      D



比例式



形如 ab =cd 的等式(其中b d 不為0),稱為比例式。


解題方法:(1) ad=bc(外項乘積等於內項乘積)


(2)可設a = cr b = dr r 0)。



連比例式



形如xyz abc(其中a b c 都不為零),稱為連比例式。


解題方法:(1)  


(2)可設x =ar y = br z=cr r 0)。



百分率



將一純小數「乘上100後附加%記號」,稱為百分率,如0.23=23%



數形規律



(1)     類型一:數量的變化規律


Ex:用等長的吸管依次向右排出相連的三角形,如圖。請問排第十個圖形需要幾根吸管?【90.二】


 


(A) 19ˉ(B) 21ˉ(C) 23ˉ(D) 30                                              ˉB


 


(2)     類型二:排序的重複規律


Ex:如圖,阿福伸出左手,由大拇指開始數數。大拇指是1、食指是2、中指是3、無名指是4、小指是5;反方向數回去,無名指是6、中指是7、食指是8、大拇指是9,再反方向數回去,食指是10。依此規律,150會在哪一根手指上?【94.示例】


 


(A)大拇指 (B)食指(C)中指 (D)無名指                             D



 



幾何



































































































































































































































































































































互補、互餘



互補:兩角度數和為180度。互餘:兩角度數和為90度。



對頂角



兩直線相交而成 4個角,其中有兩組不相鄰的兩角,稱為對頂角。


性質:每一組對頂角都相等



尺規作圖



利用直尺(沒有刻度)、圓規繪製幾何圖形稱為尺規作圖。


基本作圖:等角、等線段、角平分線、中垂線、過線上(外)一點作垂線


全等作圖:SSSSASASAAASRHS作圖


Δ三心作圖:外心、內心、重心、內切圓、外接圓


平行作圖:平行線作圖



中垂線


(垂直平分線)



過一線段中點且垂直此線段的線稱為中垂線。(操作:是將線段的兩端點重疊對摺後所得的的摺痕)


中垂線性質:一線段的中垂線上的任一點到線段的兩端點等距離。


中垂線判別性質:與一線段兩端點等距離的點必在該線段的中垂線上。


Ex:如圖,已知直線 CD 的中垂線,且交 D,則下列哪一個敘述是錯誤的?  94.題本】
(A)
C 為圓心, 為半徑畫圓,則圓必過 A
(B)
A 為圓心, 為半徑畫圓,則圓必過 C
(C)
B 為圓心, 為半徑畫圓,則圓必過 C
(D)
D 為圓心, 為半徑畫圓,則圓必過 B                           B



角平分線


(分角線)



將一角分成兩相等角的線稱為角平分線。(操作:是將角的兩邊重疊對摺後所得的的摺痕)


角平分線性質:角平分線上的點到角的兩邊等距離。


角平分線判別性質:與一角兩邊等距離的點必在此角的平分線上



線對稱



一個圖形若沿著某一直線L對摺後,其在直線兩側的部分完全重合,這樣的圖形稱為線對稱圖形,而摺線L稱為這個圖形的對稱軸。


線對稱性質:對稱軸是任一組對稱點連接線段的中垂線。


Ex:下列那一個圖形是線對稱圖形?【94.題本】
                            C



Δ的角度分類



銳角三角形:三個內角皆為銳角的三角形。


直角三角形:有一個內角為直角的三角形。


鈍角三角形:有一個內角為鈍角的三角形



等腰三角形



有兩邊相等的三角形。此相等的兩邊稱為腰。


性質:(1)兩底角相等


(2)頂角平分線垂直平分底邊


(3)兩腰上的高、中線線段長、兩底角角平分線線段長相等。



直角三角形



性質:(1)商高定理:「斜邊平方等於兩股平方和」。


      (2)斜邊中點至三頂點等距離。(斜邊是外接圓直徑)


(3)30°-60°-90°的三邊比例為1 2 45°-45°-90°的三邊比例為11  



Δ外角和、


內角和定理



Δ的外角和定理:三角形一組外角的和為360°。


Δ的內角和定理:三角形的三內角和為180°。



Δ外角定理



三角形任一外角等於它的兩個內對角之和。



多邊形


外角和定理、


內角和定理



多邊形外角和360度;n邊形內角和=(n2×180度。


註:可以用對角線將多邊形分割為三角形來求它的內角和。


Ex:從一個凸七邊形其中的一個頂點,最多可作出a條對角線;這些對角線將此七邊形分割成b個三角形;再利用每一個三角形的內角和為180∘,可以求得這個七邊形的內角和為c度。請問下列哪一個選項是正確的?【90.二】


(A)a5    (B)b5    (C)c1080    (D)a×180c                             B



全等



兩圖形可完全疊合,稱兩圖形全等。


性質:(1)對應邊相等,(2)對應角相等。



Δ全等判別方法



SSS性質:兩三角形的三對應邊相等,則此兩三角形全等。


 



SAS性質:兩三角形的兩邊與它們的夾角對應相等,則此兩三角形全等。


 



ASA性質:兩三角形的兩角與它們的夾邊對應相等,則此兩三角形全等。


 



AAS性質:兩三角形的兩角與其中一個角的對應邊對應相等,則此兩三角形全等。


 



RHS性質:兩直角三角形的斜邊和一股對應相等,則此兩三角形全等。


 



SSA不一定全等



兩三角形的兩邊與其中一個邊的對角邊對應相等。


因為滿足上述條件的情形會有兩種(SSA作圖可能做出兩種三角形),所以不一定全等。


 


 



Δ兩邊中點連線



三角形兩邊中點連線段,會與第三邊平行,且長度為第三邊的一半。


 


 



Δ邊角間的不等關係(1)



三角形的三邊長符合下列關係:(任意兩邊的差)<(第三邊)<(任意兩邊的和)


檢驗是否為三角形三邊長方法:兩小之和>最大


Ex:小芳以自己的位置為一固定點找出與他等距的甲、乙、丙三點,並測量此三點間的距離,距離如表。表中有部分為水債所弄髒,使得丙到甲的距離無法辨識。若弄髒的數字設為 x,依此情境可列出下列哪一個關係式?【94.題本】
 
(A) 1.5
7.52x  (B) (1.5)xx(7.5)  


(C) 1.5x7.51.5  (D) 7.51.5x7.51.5                                D



Δ邊角間的不等關係(2)



大角對大邊;大邊對大角


Ex:已知一個三角形中若有兩內角不相等,則大角對大邊。根據圖中所給的數據,判斷角錐中的 哪一個線段最長?【94.題本】
 
(A)  (B)
(C)  (D)                             D



平行



平面上兩直線同時垂直某一直線(或處處距離相等、永不相交),稱此兩直線互相平行。


Ex:如圖() // C 上。若 5 8,△ABD的面積為24,則△ACE的面積為多少?【91.二】


 


(A)10    (B)12    (C)15    (D)18                                  C



兩平行線被一截線所截



如圖:M//NMNL所截


 



同位角



上圖中, 15263748 分別稱為同位角。


性質:同位角相等



同側內角



上圖中 3546分別稱為同側內角。


性質:同側內角互補



內錯角



上圖中 3645分別稱為內錯角。


性質:內錯角相等



平行線判別性質



兩線被一截線所截,若同位角相等或同側內角互補或內錯角相等,則兩線是平行線。



平行四邊形



兩雙對邊互相平行的四邊形。


平行四邊形性質:


(1)兩雙對邊分別相等。


(2)兩雙對角分別相等。


(3)任一對角線將平行四邊形分成兩個全等的三角形。


(4)對角線互相平分。



平行四邊形的判別性質



(1)兩雙對邊分別相等。


(2)兩雙對角分別相等。


(3)對角線互相平分。


(4)一雙對邊平行且等長。



菱形



四邊等長的四邊形。


面積公式:兩對角線段長乘積÷2



梯形



只有一組對邊(稱為上底與下底)平行的四邊形。非上底與下底的兩邊,稱為梯形的腰。



等腰梯形



兩腰等長的梯形。



梯形中線



梯形兩腰中點連線。


性質:與兩底平行,且長度為(上底+下底) ÷ 2



長方形



四個角均為直角的四邊形,又稱矩形。



正方形



四個角均為直角且四邊等長的四邊形



特殊四邊形的對角線





















等腰梯形



平行四邊形



菱形



長方形



正方形



等長



互相平分



互相垂直平分



等長且互相平分



等長且互相垂直平分



 



敘述與逆敘述的不同



敘述形式:若(已知條件),則(結論)。可由推理判斷敘述和其逆敘述是否正確。


例:(1)菱形的對角線互相垂直,反之則不一定


    (2)等腰梯形的對角線相等,反之則不一定


    (3)正方形四邊等長,反之則不一定



包含關係



例:(1)正三角形是等腰三角形的一種。


(2)正方形、長方形、菱形、平行四邊形彼此間的包含關係。



  表徵對應變動



例:Δ面積:底×高÷2 平行四邊形面積:底×高梯形面積:(上底+下底) ×高÷ 2


在面積整合概念中,梯形是一般形,三角形可視為上底變化至0的梯形,而長方形、平行四邊形則可視為上下底變化至等長的梯形,在這種看法下,上述各形的公式,其實是互通的。



圖形的轉換組合



將三角形、平行四邊形、梯形、長方形其中之一圖形,經由切割重組成另外三個圖形。


 



直角柱體



(1)     上下底面是兩個平行且全等的多邊形


(2)     側面都是長方形


(3)     底面和側面互相垂直


Ex:阿俊拼裝完成了直角柱形的燈架,如圖所示。他共用了 9 支鋼管,其中 30 公分長的有 4 支,40 公分長的有 3 支,50 公分長的有 2 支。請問此燈架的三角形底面三邊長分別為多少?【94.題本】

(A)30 公分30 公分50 公分 (B)30 公分30 公分40 公分
(C)30 公分40 公分50 公分 (D)40 公分40 公分50 公分                    A


 



正角錐體



(1)     底面是一正多邊形


(2)     側面都是等腰三角形



直圓柱體



(1)     上下底為兩等圓的正柱體。


(2)     側面是一曲面,展開後是一長方形。


(3)     兩底圓心連線與兩底的所有半徑都垂直。



直圓錐



(1)     底面是一圓形。


(2)     側面是一曲面,展開是一扇形。


(3)     頂點和底圓心連線與底的所有半徑都垂直。



展開圖



將柱體、錐體的的各個面以邊相連,平鋪在同一平面上。



柱體體積



底面積×高。



柱體表面積



底面和側面的面積和。


Ex:有一個體積為 512 立方公分的正方體,求此正方體的表面積為多少平方公分?【93.一】
(A)144(B)192(C)256(D)384                          D


 



複合圖形的幾何量



包括複合平面的面積、複合立體圖形的表面積、體積


如:     


計算方法:先將複合圖形分解為基本圖形,再由基本圖形組合成所求圖形。



相似形(放大與縮小)



兩個平面圖形,經過放大縮小後兩個圖形全等。


性質:(1)對應角相等


(2)對應邊成比例


Ex:將一個三角形的三個邊長各放大為 2 倍可形成一個新的三角形。有關這兩個三角形的敘述,下列哪一個是錯誤的?【94.題本】
(A)
新三角形與原三角形相似
(B)
新三角形的面積為原三角形的 4
(C)
新三角形的周長為原三角形周長的 2
(D)
新三角形的每個內角均為原三角形內角之 2                          D



相似形的判別



四邊以上的多邊形,必須同時滿足(1)對應角相等(2)對應邊成比例,才是相似形。


例如:矩形和正方形滿足對應角相等,但不一定相似。


菱形和正方形滿足對應邊成比例,但不一定相似。


Ex:下列每個選項中都有兩個長方形。根據圖中所給的方格紙、數據,判斷哪一個選項中的兩個長方形是相似的?【94.示例】


(A)  (B)  


(C)  (D)*                             D



比例線段



當四個線段中,兩個線段的比等於另兩個線段的比時,此四個線段稱為比例線段。



面積比問題



(1)平行線間同底等高的Δ面積相等


(2)等高或同高的Δ面積比=底邊比


(3)相似Δ面積比=對應邊平方比



平行線截比例線段



在△ABCD 上,E 上,且 平行於 ,則


 


 


 



Δ相似性質



AAA相似性質:兩三角形三個對應角分別相等(或稱AA相似性質),則此兩三角形相似。


Ex:一群海盜在無名島上藏了三批珠寶,先在島上 A 地藏第一批珠寶,然後向東走 x 公里,再向北走 5 公里 B 地藏第二批珠寶,再循原路回到 A 地後,向西走 6 條直線上,則 x=?【94.題本】
(A) 3 (B) 6 (C)  (D) 12                                     A



SAS相似性質:兩三角形一對應角相等且此角之兩個夾邊長成比例,則此兩三角形相似。



SSS相似性質:兩三角形三個對應邊成比例,則此兩三角形相似。



簡易測量



利用Δ相似形比例線段測量高度、寬度


(1)類型一                            (2)類型二


 


 



圓的弧、弦



弧:圓周的一段。


弦:圓周上相異兩點的連接線段。一弦分割圓周成兩弧,大的弧稱為優弧,小的弧稱為劣弧。



扇形



圓的兩半徑和其所夾弧所組成的圖形。


扇形弧長:


扇形面積:


註: 代表扇形佔圓的比例,n是弧的度數或圓周角,圓周長=2πr,圓面積=πr2



弓形



圓的一弦和其所夾弧所組成的圖形。


弓形周長:弦長+弧長


弓形面積:扇形面積-Δ面積



切線



平面上一直線和一圓只有一個交點,稱此直線為圓的切線。


切線性質:(1)圓心和切點的連接線段等於半徑。


          (2)圓心和切點的連接線段垂直此切線。


          (3)過一圓直徑端點的垂線為此圓的切線。 


Ex:如圖,直線 L 垂直,垂足為 A 10。現以 O 為圓心,r 為半徑作一圓,請問當 r 為下列哪一個值時,可使 L 與此圓只交於一點?【94.題本】



(A) 5 (B) 8 (C) 10 (D) 13                                               C  



切線長性質



由圓O外一點P作此圓兩條切線,切點AB,則


(1)  


(2)  



弦心距



圓心到弦的距離。


弦心距性質:弦心距必垂直平分此弦


弦心距計算:  



兩圓的位置關係



:連心線長,R:大圓半徑,r:小圓半徑。下表中外切、內切最重要,必須牢記。




















>R+r



=R+r



R-r <R+r



=R-r



<R-r



外離



外切



交兩點



內切



內離



Ex:已知有圓O1、圓O2兩圓。如(圖一),兩圓內切時, = 6。如(圖二),兩圓外切時, =  16。求(圖三)中灰色部分面積為何?【94.示例】


 


(A)48 π (B)96 π (C)100 π (D) 220 π                              B



公切線



和兩圓同時相切的直線稱為此兩圓的公切線。



圓心角



以圓心為頂點兩半徑為邊所組成的角。


性質:圓心角=所對弧的度數



圓周角



圓上一點和此點所作之兩弦形成的角。


性質:(1) 圓周角=所對弧的度數一半。


(2)對半圓的圓周角是直角(90°)



弦切角



由過圓上同一點的弦和切線所夾的角。


性質:弦切角=所夾弧的度數一半。



圓內角



為圓的兩弦且其相交於E,則AEC稱為一圓內角。


性質:圓內角=它所對弧的度數與它的對頂角所對弧的度數之和的一半。



圓外角



為圓的兩割線或切線,則APB稱為一圓外角。


性質:圓外角=所夾兩弧度數差的一半。



平行弦截等弧



圓內兩平行弦所截的兩弧相等。



圓內接四邊形



圓周上相異4點所連成的四邊形。


性質:對角互補



圓外切四邊形



四邊都和圓相切的四邊形


性質:兩組對邊的和相等



Δ外接圓



過Δ三頂點的圓,稱此圓為Δ的外接圓。



Δ內切圓



Δ內部中,與三邊相切的圓,稱為Δ的內切圓。



Δ外心



三角形外接圓圓心,即三角形三邊中垂線的交點。


性質:(1)Δ外心到三頂點等距離。


(2)直角三角形斜邊中點到三頂點等距離。



Δ內心



三角形內切圓圓心,即三角形三內角角平分線的交點。


性質:(1)Δ內心到三邊等距離。


(2)若△ABC周長s,內切圓半徑r,則△ABC的面積=


Ex:坐標平面上直線4x3y12x軸於A點,交y軸於B點。若O為原點,I為△AOB之內心,則△AIB的面積=?【90.二】


(A)2    (B)     (C)4    (D)5                     B



Δ重心



三角形三邊中線的交點。


性質:(1)三角形的重心到一頂點距離等於它到對邊中點的兩倍。


(2)三角形三條中線將三角形面積六等份。


Ex:如圖 (),有一質地均勻的三角形鐵片,其中一中線 24 公分。若阿龍想用食指撐住此鐵片,如圖 (),則支撐點應設在 上的何處最恰當?【94.題本】
 
(A)
距離 D 6 公分 (B) 距離 D 8 公分
(C)
距離 D 12 公分 (D) 距離 D 16 公分                       B



 



代數

























































































變數、未知數



以文字符號(甲、乙、 x y…)表示量時,具有不定數和未知數的雙重意義,若代表可變化的量稱為變數。若以文字符號列成方程式時,符號即具有未知數的意義。



以符號代表數



xy等符號記錄生活情境中的數學式。


例: 若有5元郵票x張,2元郵票y張,則可列出( 5x+2y)元代表面額總值。



代入求式子的值



承上,當x2y2時,郵票面額總值為5×22×214元。



式子的項、係數



例:x23x4中,二次項x2的係數為1 一次項3x的係數為-3,常數項4的係數為4



式子的化簡



(1)去括號(2)同類項合併



等量公理



當等號左右兩邊相等時,於等號兩邊各加、減、乘或除以同一個數(不可同時除以0),等號兩邊仍會維持相等。



移項規則(由等量公理精簡而得的)



在等式或不等式中,將一個數從等號的一邊移到另一邊應遵守:


(1)移加作減;(2)移減作加;(3)移乘作除;(4)移除作乘等規則。
在不等式中,若將「負」的乘數或除數移至另一邊時(移乘或除時),不等號需轉向


例:若-3x6,則x-3),即x-2



一元一次式



只含一種變數(元),且變數的次方是為一次的數學式。
例如: (一元一次多項式)
      (
一元一次方程式)
     
1 (一元一次不等式)


求解方法:利用等量公理或移項法則求解。


Ex:有一瓶 800 c.c.的食鹽水,重量百分濃度為 3%。若想將重量百分濃度降至 2%,則需再加入多少 c.c.的水?【94.題本】
(A) 200 (B) 300 (C) 400 (D) 600                                        C


Ex:班上候選人有阿文與其他三位同學,欲選出較高票的兩人參加畫圖比 賽。已知總投票數為 31 票且阿文目前得 11 票。下列對阿文的敘述何者正確?【94.題本】
(A)
確定當選
(B)
確定落選
(C)
不能確定當選,因為 11 票未過總數的一半
(D)
不能確定落選,因為不知其他三人的票數                              A



二元一次方程式



含有二種變數,且變數的次數均為一次的等式,形如ax+by=cy=ax+b


求解方法:利用代入法找出方程式的一些解。必須知道二元一次方程式的解不是唯一的,所以常用列表法列出滿足方程式的解。


Ex:阿傑買了毛筆、鉛筆若干枝,花了70 元。若毛筆一枝20 元,鉛筆一枝6 元,則阿傑買了毛筆及鉛筆共幾枝?【94.示例】


(A)7 (B)8 (C)9 (D)10                                    A



直角座標系



座標平面包含x軸、y軸、四個象限。假設a>0,b>0,要描出(ab)所表示的點P時,從原點出發,先沿x軸向右走a單位,再朝 y軸向上走b單位,即是P點的位置。


Ex:如圖,玉山在坐標平面上的位置為 (121, 23.5);已知 x 軸的正向指向東方,y 軸的正向指向北方,且每個方格的長寬均為一個單位長。右 P 點位置為 (120 , 23),則 P 點最接近下列哪一個地方?【94.題本】



(A)
苗栗 (B) 花蓮 (C) 台南 (D) 屏東                   C



y=ax+b的圖形



y=ax+b的所有解,轉化為坐標平面上的點,這些點所形成的圖形,稱為y=ax+b的圖形


作法:表列出所找的兩組解,將此兩點描繪在座標平面上,兩點所連的直線即是。


Ex:下列哪一個選項為二元一次方程式 y2x4 的圖形?【94.題本】
                                  D



二元一次聯立方程式



含有二種變數,且變數的次數均為一次的兩個等式聯立,形如


求解方法:代入消去法,加減消去法


Ex:已知二元一次聯立方程式 的解為xayb,則ab? 90.二】


(A)3    (B)1    (C)     (D)                      A



乘法公式



由長方形面積的分割組合推得的恆等式,可用於簡化數的計算、因式分解、配方法。


(1)(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd


(2)(a ± b) 2a2 ±2ab+b2


(3) (a+b)(a-b) a2-b2



一元二次方程式



只含一種變數且變數的最高次方為二次的等式,形如ax2bxc=0


求解方法:十字交乘法、配方法



十字交乘法



Ex:2x27x60 的兩根分別為α、β,其中α>β,則α-2β=?【94.題本】
(A)
1 (B) 1 (C) 4 (D) 5                                  A


 


解:由分解2=1×2,6=(-2)×(-3),檢驗1×(-3)+2×(-2)=-7


1        -2


2         -3  ,即(x-2)(2x-3)0


                               x


      α-2β=-1



配方法



Ex:利用配方法將方程式 x2-4x+2=0 化成x=h 的形式,求 h+k=?【94.題本】
(A) 2 (B) 4 (C) -4 (D) -2                                   B


解:(1)移常數項至等號右邊                   x2-4x=-2


    (2)等號兩邊各加上          x2-4x+ =-2+


      配成完全平方式                       (x-2) 2=2


    (3)等號兩邊開平方                         x-2=


    (4)移項求解                                  x=2


                                            ∴h+k=4



解或根



滿足方程式或不等式的數,稱為解或根。


Ex:x=-2 可以是下列哪一個不等式的解?【94.題本】
(A)
x1   (B)2x1  (C) x20   (D) 4x60



表徵轉換



(1)     轉譯列式:日常生活情境或文意敘述與數學表示法之間的轉換


Ex:如圖,有一飯店的宴會廳是一個長比寬多 2 公尺的矩形。今在宴會廳中間鋪了一張長方形地毯,使得四周剩下的空地均為 1 公尺寬。已知未鋪地毯的面積是鋪地毯面積的4/5,設宴會廳的長是 x 公尺,則下列哪一個式子可用來表示題目中的數量關係?【94.題本】



(A) x(x
2)(x1)(x3) (x1)(x3)  (B) x(x2)x(x2) x(x2)
(C) x(x
2)(x2)(x4)  (x2)(x4)  (D) x(x2)(x1)(x4)  (x1)(x4)



Ex:彥宇與家人到遊樂園玩,買了 2 張全票及 3 張優待票,共付了 3500 元。已知全票每張比優待票貴 250 元,假設全票每張 x 元,優待票每張 y 元,依題意可列出下列哪一個 x y 的二元一次聯立方程式?【94.題本】
(A)  (B)  
(C)  (D)                                    C


(2)     數形連結:數學式子與圖形之間的轉換,或具體形象與形式符號之間的轉換


Ex:已知ab > 0,下列哪一個選項可能為方程式xayb的圖形?【90.一】


(A)








x










y










L










O



 (B)







x










y










L










O



 (C)







x










y










O










L



 (D)







x










y










L










O



     C


 


Ex:右圖為一拱橋的側面圖,其拱橋下緣








 



呈一弧形,若洞頂為橋洞的最高點,且知  當洞頂至水面距離為90公分時,量得洞內水面寬為240公分。後因久旱不雨,水面位置下降,使得拱橋下緣呈現半圓,這時,橋洞內的水面寬度變為多少公分?【91.一】                                 


(A) 240         (B) 250       (C) 260         (D) 270         


 B


 



生活中的公式



如正常血壓範圍的公式,各式各樣標準體重的計算公式等,不強調這些公式是怎麼來的,只強調其實用性。


解法:將題目給予的各項數值代入公式,再判斷公式值所代表的性質。


Ex:身體質量指數 (BMI)是一種判斷理想體重的參考公式,它的算法及評估程度如圖。若甲生的身高為 1.8 ,體重 80 公斤。請問下列哪一個選項可以描述甲生的身體狀況?【94.題本】
 
(A)
稍瘦 (B) 標準 (C) 稍胖 (D) 過胖                            B



 



統計與機率













































































次數



各筆或各組資料出現或發生的「次數」、「人數」等。



相對次數



各筆或各組資料「出現或發生的次數÷全部次數的總和」,以%表示。



累積次數



有序資料中依出現或發生的秩序(如:由小至大)累加至各筆或各組的次數。



相對累積次數



有序資料中依出現或發生的秩序(如:由小至大)累加至各筆或各組的相對次數,以%表示。



百分位數



各筆或各組資料的相對位置,表示有百分之多少的資料比該筆或該組資料的數要小。


例:某次數學考試,第80百分位數是87分(或者說87分的百分等級PR80),表示小於87分的人數佔全部人數的80%



算術平均數



「所有資料的總和÷總次數」,即所有資料的平均值。


Ex:下列四個折線圖分別紀錄了兩城市在不同年代之市民年齡分布。根據圖中所提供的資訊,判斷哪一個選項中甲市市民年齡的算術平均數比乙市的高?【94.題本】
                           D



中位數



即第50百分位數,通常表示比這筆或這組數大和比這筆或這組數小的資料各佔一半。



眾數



出現次數最高的一筆或一組數。。



直方圖



以長條狀圖形高度代表資料量的統計圖形,其中各相鄰長條間彼此相連接。



長條圖



以長條狀圖形高度或長度代表資料量的統計圖形,其中各長條間並不相連接。


Ex:圖是某捐血中心歷年的捐血情形與檢驗結果;其中長條圖表示捐血人數、折線圖表示檢驗不合格的人數比率。關於民國 6776 年間該捐血中心的敘述,下列何者正確?【94.題本】
 
(A)67
年的捐血人數比 75 年多    (B)67 年捐血不合格率比 75 年低
(C)71
年的捐血人數比 75 年少    (D)71 年捐血不合格率比 75 年低           C



折線圖



以直線連接相鄰兩資料點的圖形。


Ex:右圖紀錄了某日彰化鹿港一天的氣溫變化,根據圖中的資料,判斷下列哪一個時段溫差最大?【94.示例】


 


(A)2~4 (B)12~14 (C)18~22 (D)22~24                     D



圓形圖(圓形百分圖)



以圓內各扇形面積代表資料統計量的圖形。


Ex:如圖,薇薇將班上同學的上學方式分別畫成一圓形圖及長條圖。請問,長條圖中的 abcd 哪一個所指的是搭公車?【94.題本】



(A) a (B) b (C) c (D) d                           B



組合事件



兩個以上的試驗的部分情形,常用樹狀圖、列表、序對來呈現。



事件機率



一個事件會發生的機會; 機率=


Ex:一袋子中有白球 2 個、紅球 3 個,且每一個球被取出的機率相等。今逐次自袋中任取一球,取後放回。已知前兩次均取出白球,若第三次取出白球的機率為 p,取出紅球的機率為 q,則 pq 的大小關係為何?【93.二】
(A)p
q (B)pq
(C)p
q (D)pq 無法比較                              A



普查、抽樣調查、母群體、樣本



母群體估算:在均勻混和或常態分佈下,我們假設母群體:全部標記=樣本:樣本中的標記。


Ex:某工廠連續七天、每天生產 1000 件玩具,該工廠品管部會對當天所生產的玩具做不良品測試,圖為七天內所測試的結果。試問依此測試結果預估此工廠生產不良玩具的機率最接近下列何者?【94.題本】



(A) 0.3
(B) 0.8 (C) 1.3 (D) 1.8                                  C



亂數表



抽樣調查常用亂數表來選取樣本



 



 

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